БГЗМ и МГЗМ - шуточные аббревиатуры, означающие "большая губозакаточная машинка" (или губозакатывательная) и "малая губозакаточная машинка". Данные сокращения родились в формате интернет-сленга и используются в общении на форумах и в чатах для насмешки над размечтавшимся собеседником. Размер "губозакатывающей машинки" (большая или малая) определяется степенью и масштабами несбыточного желания у оппонента.

По смыслу БГЗМ и МГЗМ означают "закатай губу обратно" и являются выразительным аналогом отказа.

Одно из правдоподобных предполагаемых происхождений выражения про "раскатать/закатать губу":

... выражение "закатать губу" появилось в кулинарии. В частности, его связывают с выпечкой калачей. Перед тем как положить калач в печь, на нем делали поперечный надрез, который называли губой. Надрез раскатывали и наполняли сахаром, орехами и изюмом, а затем закатывали обратно. Когда калач доходил до готовности, отверстие открывалось и напоминало распахнутый рот.

Как появилось выражение закатать губу?

В продаже в тематических интернет-магазинах есть сувенирные губозакаточные машинки.